segunda-feira, março 24, 2008

O Limite dos Modelos Matemáticos


Para perceberes o que o Papa disse, é preciso que eu te fale primeiro sobre os limites da ciência dos humanos, Alita.

“Aiii.... está bem, mas promete-me que não te vais esquecer que a minha área não é a matemática!”
Um sorriso doce sublinhou o pedido da Alita e transformou-o em ordem. Tulito sorriu-se, não conseguia reagir doutra maneira aos encantos de sereia da Alita.

Claro, Alita, vou só tentar mostrar a natureza do problema. Diz-me por favor: qual é o objectivo essencial da Ciência, aquele que faz com as pessoas estejam dispostas a pagar os seus custos?”

“Ora, a previsão do Futuro, ou melhor, a previsão dos perigos que podem surgir no futuro, claro; a que propósito vem essa pergunta?”
A mão suspensa traduzia o espanto da Alita.

“Acontece que o Método Científico deles se resume à construção de Modelos Matemáticos de ajuste aos resultados das observações. Tu não saberás, mas há uma coisa que os modelos matemáticos não podem fazer: é prever o Futuro!”
Tulito pensou um instante, pegou no apontador e começou a fazer um desenho:



Modelo Matemático para dois pontos? Fácil! Uma recta, 1º grau (azul)! Mais um ponto? Fácil! 2º grau (amarelo)! Mais outro ponto! Fácil, sempre fácil, mais um grau no polinómio! E o ponto nº 5, onde é que vai aparecer? Ahh, isso agora... o Futuro não pertence à Matemática...



Vou dar-te um exemplo simples. Fazer um Modelo Matemático é como estabelecer o polinómio que passa por uma série de pontos do plano; se os pontos forem apenas dois, há sempre uma recta que passa por eles; se forem três, há sempre um polinómio do segundo grau que se ajusta a eles; se foram 4, o polinómio será do 3º grau; e por aí fora.”

“Aí ainda chego!”
A Alita com voz condescendente, quase ofendida, mas ainda suave como a sua presença.

Eu sei, espera, falta-me terminar. Se tiveres 3 pontos não tens dificuldade em obter o polinómio do 2º grau que por eles passa, certo?”
Tulito apontou a linha amarela do seu desenho.

“Certo, certo”

Mas supõe que os pontos afinal eram 4 e tu só viste 3. Qual a probabilidade a priori de o polinómio que calculaste para os 3 pontos passar também pelo 4º?”

“Ora, nula!”

Claro, Alita, isso mesmo! O Modelo Matemático que fizeste para os 3 dados que consideraste não vai acertar com outros dados, ou seja, não pode prever qual é o acontecimento seguinte. Ou melhor, em muitos casos pode prever aproximadamente um acontecimento na vizinhança de um dos pontos usados no modelo, mas o erro cresce com o afastamento e torna a extrapolação do modelo matemático sem valor.”

“Ou seja, estás a dizer que a Ciência deles é incapaz de prever o Futuro porque se baseia apenas em Modelos Matemáticos?”

Isso mesmo.”

“Estou a perceber, falta-lhe a outra perna, como disseste, a perna da Intuição, de que falou o Poincaré. Embora eu não entenda bem porque chamou ele “Intuição” à geração de hipóteses...”

Porque essa geração de hipóteses não é conseguida pela aplicação de um método, é uma capacidade mental que os humanos têm mais ou menos desenvolvida, não é um processo consciente.”

“Como é isso?”
O ar surpreendido da Alita parecia dizer «sabes coisas sobre os humanos que eu, a especialista, não sei?»

Eu sei lá!”
Tulito riu-se com gosto.”A especialista em Humanologia és tu, não sou eu!

Alita sorriu contrafeita, o seu jeito sedutor enrodilhou-se. Reagiu: “Eu já coleccionei alguma informação sobre isso, mas ainda a não consegui ordenar. Eles falam de ter «jeito», ou «intuição», ou «dom», ou «talento» mas ainda não percebi de que se trata. Ainda hoje vi uma frase dum tal Martin Heidegger que dizia «Nunca chegamos aos pensamentos. São eles que vêm». Já vi várias frases deste tipo. São um bocado estranhos os Humanos: são «hipnotizáveis», têm «talentos» e «intuição», e não sei que mais irei eu descobrir sobre eles...”

Olha, que são muito arrogantes, com a mania da infalibilidade. A Igreja é infalível, a Ciência é infalível... uma obsessão com a infalibilidade. Em parte, penso que será por isso que se limitam aos modelos matemáticos, porque esses podem ser construídos por métodos simples e «infalíveis»... podem sempre determinar os polinómio que passa pelos acontecimentos... mas não podem é prever o Futuro e isso é fatal!”

“Tu mostraste-me o que é um Modelo Matemático e eu percebi porque é que não pode prever o Futuro; mas qual é a alternativa?”

A alternativa é um modelo Físico. A alternativa é descobrir o que é que gera os pontos no plano em vez de determinar o polinómio que passa por eles. Só sabendo a causa dos pontos, ou seja, a rede de relações causa-efeito que os gera, é que se pode prever o próximo acontecimento. A alternativa é, pois, simplesmente, «compreender»!”

“Pois, lembro-me que o Einstein falou disso.”

E que responderam os Físicos?”

“Que era a coisa mais estúpida que ele tinha dito.”

Vês? É muito mais fácil fazer Modelos Matemáticos do que «Compreender», por isso eles limitam-se a fazer Modelos Matemáticos e ainda chamam estúpidos aos que buscam a compreensão. Mas os Modelos Matemáticos condenam-nos ao desastre porque não podem ser extrapolados.”

“Deixa-me então adivinhar: o discurso do Papa é sobre a incapacidade da Ciência para prever o Futuro?”

19 comentários:

Diogo disse...

A não ser que o modelo matemático se baseie na compreensão em vez de apenas na observação. Desta forma conseguem-se modelos matemáticos muito precisos. Por exemplo: um modelo matemático de uma rede de distribuição de água pode ser extraordinariamente preciso. O mesmo não se dirá dos actuais modelos matemáticos do clima.

Metódica disse...

Mas segundo a sua lógica, para os 4 pontos seria um polinómio de 3º grau...

Manuel Rocha disse...

Continuo interessado em saber que discurso do Papa é esse...estou a "leste"...:))

O texto ilustra muito bem a questão dos limites da ciência em geral e da mat em particular.
Importa que se perceba que mesmo onde a "precisão" parece óbvia, é de uma interpretação que falamos, não é ? Afinal como é que se diz a alguém que o branco não "é" branco, mas um conceito de branco?

Era o que dizia no post anterior...para não se partir a cabeça a matutar nestas coisas há quem prefira seguir um rebanho e respectivo pastor...é mais simples !

alf disse...

diogo

A matemática é uma ferramenta indispensável. Se temos a "compreensão", usamos a matemática para construir o modelo. Mas isso é diferente de usar a matemática para fazer um modelo sem compreender o fenómeno por detrás.

Por exemplo, qd se diz que "a velocidade da luz é constante", se escreve "c=constante", como fez o Minkowsky, e se começa a deduzir consequências matematicas está-se a contruir um modelo matemático da relatividade, que até chega a resultados certos dentro de um ambito limitado, mas não um modelo físico, pois afirmação "c=constante" é "incompreensível", não tem significado físico, não foi nada disso que o Eisntein disse - o Einstein fez um modelo físico.

Porque o Einstein "compreendia", ele pode depois fazer a Relatividade Geral, algo que nunca poderia ser feito pelo Minkowsky nem por nenhum físico actual, pois todos ignoram o trabalho de Eisntein e usam apenas o modelo matemático do Minkowsky.

O "Jorge", porque tem o modelo físico da Relatividade, porque compreende Einstein, pode prosseguir o trabalho iniciado por ele e ir muito mais além - a áreas do conhecimento completamente inacessíceis à Física actual porque esta está assente em modelos matemáticos e não em modelos físicos.

Portanto, uma ciência assente em modelos matemáticos não só não é capaz de prever o futuro como também não é capaz de construir nenhum conhecimento novo, porque um modelo matemático não acrescenta nada aos dados das observações, não passa de uma forma sintética de os expressar (por isso é que um polinómio tem tantos termos qt o número de pontos a ajustar, ou a física atómica tem tantas partículas qt o número de tipos de observações feitas)

alf disse...

metódica

exactamente. Mais um ponto, mais um grau no polinómio. O polinómio que ajusta "n" pontos é um somatório de "n" termos, do grau "0" (a constante) ao grau "n-1".

Mas se os pontos forem uma representação de acontecimentos que se vão sucedendo ao longo do tempo, se conhecermos 4 pontos, podemos determinar o polinómio de 3º grau que se ajusta a eles, mas esse polinómio não nos permite saber onde vai aparecer o 5º ponto.

Esse modelo, o polinómio, na verdade, não contêm nenhum informação adicional ao conjunto de pontos que serve para os gerar; não "sabe mais" do que o conjunto de pontos.

Friso isto para acentuar que a ideia, muito generalizada, de que "a Matemática sabe mais do que nós" é essencialmente falsa e perigosa porque conduz ao erro.

Nós podemos usar a matemática para sabermos mais, foi o que fez o Newton, mas isso é diferente de fazermos um modelo que se limita a ajustar a um conjunto de acontecimentos, que foi o que fez o Ptolomeu. Ou o Minkowsky. E o que fazem todos os físicos actuais.

A matemática é uma ferramenta, não é um substituto da inteligência.

antonio disse...

Vamos por partes! Nem consegui passar do início!

Então estes seus alienígenas, que passam a vida a falar com uma irritante sobranceira sobre os humanos, continuam derretidos pelo sexo fraco? Então, após séculos de evolução continuam a encantar-nos como as sereias?

Pára tudo! Não vale a pena iniciarmos esta viagem. Do futuro já vi tudo o que tinha para ver!

alf disse...

manuel rocha

é já no próximo post o discurso do Papa!

Diz muito bem! Os modelos matemáticos usam os conceitos como se fossem parÂmetros e não são!

O que disse na resposta ao diogo é um caso desses. A afirmação "c=constante", por si só não significa nada. Por isso é que o Einstein começou por definir como se mede a velocidade. Porque o que é constante não é a velocidade da luz, é a medida que cada observador faz dela. E apenas a medida num percurso fechado, porque a medida ente um ponto A e um ponto B é impossível de ser feita.

Mais: fazem-se constantemente modelos sem precisão nenhuma; depois fazem-se "previsões" baseadas nesses modelos que são apresentadas com alto grau de certeza - mas essa certeza só se refere às contas, a imprecisão do modelo é completamente ignorada. Isso é vulgaríssimo nas áreas ambientais, por exemplo.

antonio disse...

É por isso que nas nossas escolas estamos a abandonar a matemática! Estamos já no futuro!

alf disse...

antónio

das coisas boas com que podemos contar pelos tempos fora é que continuaremos a encantar-nos com as sereias, eles com elas, elas com eles, todos com todos... tanto mais amantes qt mais evoluidos!

Essas teorias que os seres do futuro serão assexuados é um equívoco total... palavra de um viajante do tempo!

alf disse...

antónio

nada de confusões! A Matemática é uma ferramenta indispensável!! Temos é de saber usá-la em vez de sermos usados por ela!

antonio disse...

Esse encantamento é um resquício das técnicas que a natureza encontrou para perpetuar a espécie. Com a evolução o homem passou a controlar a sua reprodução, já não precisamos de emoções primitivas!

alf disse...

antónio

reprodução? que ideia! Essas emoções não são para a reprodução, descobriram outra função muito mais importante; já imaginou o que seria a humanidade sem elas?

Ahh, esqueci-me de esclarecer, o Tulito e a Alita não são "casados" nem família, por isso a sensualidade faz parte do seu relacionamento...

antonio disse...

Do futuro com as convenções do passado... avise-os que caso pretendam casar que a Alita peça o recibo do vestido!

Metódica disse...

Pode ser que não seja perciso António. Nessa altura talvez seja possivel que se casem pela net =P

Manuel Rocha disse...

Alf, por Toutatis !!!

Nem sequer um link para o discurso do Papa ?!
Apre que você mata os seus leitores de expectativa !!!

:)))

alf disse...

manuel

não crie demasiadas expectativas... o Tulito e a Alita são apenas uns extraterrestres a tentar perceber alguma coisa destes humanos loucos... não são deuses, não têm inteligência infinita, nem nenhum oráculo que os guie à verdade.


antónio e metódica
pagamos imposto sobre o dinheiro que ganhamos, pagamos sobre o dinheiro que gastamos e só não pagamos sobre o que temos... porque não temos!

Por isso é que está tanta gente a mudar-se para a Second Life...

Tárique disse...

Análise estática, através dela o Economist previu que em 2010 as "gilletes" de barbear teria 100 lâminas:

http://www.economist.com/displaystory.cfm?story_id=5624861

Mas neste caso não interpolou com um polinómio mas sim com uma exponencial :)

alf disse...

tárique

bem vindo!

as extrapolações por uma exponencial falham sempre rotundamente; então pergunta-se: porque é que as fazem?

Há duas respostas óbvias.

Em estudos técnicos, é para alijar responsabilidades - prever uma catástrofe e ela não suceder não causa problema, o contrário é que causa. Qualquer nabo pode fazer previsões baseado numa lei exponencial sem correr risco nenhum de a sua ignorância ser posta em causa.

Noutras questões, é para forçar a ameaça de uma catástrofe, que dá protagonismo ao previsor, serve para obter fundos, interessa aos media, etc. E nunca ninguém pede responsabilidades.

Por exemplo, o nível dos oceanos já deveria ter subido quanto, devido ao aquecimento global? 1 m em cada 10 anos não era? Ou vai subir todo de uma só vez daqui a 50 anos?

Esse exemplo da gillete é muito bom!

Manuel Rocha disse...

Então e esse discursso Papal ?!

Alf, você exaspera a inpaciência a este ateu ....::)))